4 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық

4.1. Аталған (4.3) формула бойынша  болатының анықтаймыз, онда

4.2. (4.3) формула бойынша . Сондықтан . Бірақта, сығылмайтын сұйықтықтар үшін  және . Сонымен,

,

мұндағы  – деформация жылдамдық тензорының екінші инварианты.

4.3.  теңдігін (4.6) күй теңдеуіне қою арқылы келесі түрдегі тығыздық пен температура арасындағы қатынасты табамыз: . Сонымен бірге,  теңдігінен және (4.6) теңдеуінен қысым мен температура арасындағы тәуелділікті анықтаймыз: .

4.4.  болғанда (4.11) бойынша  және (4.9) формуладан  екені шығады. Осы өрнекті деформация жылдамдық тензорының девиаторы арқылы жазуға болады:

.

Егер сонымен бірге кернеу девиаторын  еңгізсек, онда анықтауыш теңдеуді келесі екі қатынас арқылы жазуға болады:  және .

4.5. (4.9) анықтауыш теңдеуі негізінде кернеу қуаты анықтама бойынша келесі түрде болады:

Символдық белгілеу бойынша бұл теңдік келесі түрде болады:

.

Оны  девиаторы арқылы жазуға болады:

,

немесе символдық белгілеу бойынша

.

4.6. (4.14) формуланың екінші  анықтауыгш теңдеуі  теңдігін береді. Сонымен,  келесі жағдайларда болады:  (яғни, (4.11) – ден көрініп тұрғандай  болғанда) және  болғанда.

4.7.  екенін ескере отырып, (4.18) қатынасын келесі түрде жазуға болады: ; онда

Соңғы өрнекті (4.16) өрнегіне қою арқылы (4.22) өрнегінің орындалатынына көз жеткіземіз. Жоғарыдағы  үшін жазылған формуланы және (4.20) Фурье заңын (4.17) энергия теңдеуіне қойсақ, онда

.

Бірқатар түрлендрілерден кейін келесі теңдікті аламыз:

.

4.8. Элементарлық беттік күш  тең, ал толық күш  интегралы арқылы анықталады. Оны кернеу қасиеттерін пайдалана отырып  түрінде жазуға болады. Көлемдік тұтқырлық коэффициенті нөл болған жағдайда келесі өрнекті аламыз:

.

Гаусс-остраградский теоремасын қолдану арқылы бұл өрнекті келесі түрде жазуға болады:

.

4.9. Символдық белгілеудегі үзіліссіздік теңдеуі  ((5.4) теңдеу) түрінде болады. Біздің жағдайымызда  операторын цилиндрлік координатада пайдаланамыз:

.

Оны (3.4) – ке қойып, бірқатар қысқартулар жасасақ, онда іздеп отырған үзіліссіздік теңдеуін аламыз:

.

4.10. (4.23) теңдеуі  болғанда , ал  болғанда  болады. (4.15) үзіліссіздік теңдеуі  түрінде болады.

Егер массалық күштер нөлге тең және ,  болса, онда аталған теңдеу келесі түрде болады:  және .

4.11. Бұл жағдайда (4.6) күй теңдеуінен  екені шығады. Массалық күштерден тек ғана  тұрақты ауырлық күші әсер етеіндіктен, (4.28) теңдеуден келесі теңдікті аламыз: . Айнымалыларды бөлектеп және интегралдасақ, онда , мұндағы С – интегралдау тұрақтысы. Сонымен  және  болғанда  болса, онда , және .

4.12. (4.28) тепе-теңдік теңдеуінен  теңдіктерін аламыз. Массалық күштер бомаған жағдайда қысымның  және  бағыттарындағы  және  компоненттері тұрақты болатының ескертеміз.  болғанда тепе-теңдік теңдеуі  теңдігін береді. Оны интегралдасақ, онда . Бірақ  болғанда  болатындықтан . Сонымен , мұндағы .

4.13. (4.28) тепе-теңдік теңдеуінен  Интегралдасақ:  және , мұндағы  және  – өз аргументтерінің кез-келген функциясы. Екеуін біріктірсек, онда қысымның жалпы формуласын аламыз: , мұндағы  – координата басындағы бос беттегі қысым. Барлық бос бетте  болғандықтан, ізделінді бос шекара теңдеуі  түрінде болады.

4.14. (4.23) Навье-Стокс теңдеуі сығылмайтын сұйықтық үшін келесі түрде болады:

,

ал сырғанамалы қозғалыс үшін оны сызықтандыруға болады:

.

Осыдан көрініп тұрғандай нөлдік массалық күштері бар қалыптасқан қозғалыс үшін . Осы теңдіктің екі жағын да дивергенцияласақ, онда . Үзіліссіздік теңдеуі  үшін,  болады.

4.15. (4.35) формулаға сәйкес,  Онда үзіліссіздік теңдеуі  түрінде болады.  болғанда (4.22) теңдеуі келесі түрде жазылады:

,

немесе

.

Бұл теңдеулерді символдық белгілеуде жазсақ:

.

4.16. (4.29) анықтама бойынша

 болғандықтан, бұл нәтижені басқа жолмен де алуға болады:

.

4.17. Айталық  – тоқ сызығының бойындағы элементарлық орын ауыстыру болсын. Осы орын ауыстыруды (4.37) – мен скаляр көбейтсек және интегралдасақ, онда:

.

 және  болғандықтан, соңғы екі интегралды бірден табуға болады. Сонымен бірге, тоқ сызығының бойында , мұндағы – ара қашықтық элементі. Сонымен, екінші интегралда

.

Сондықтан  және (4.39) формуланы аламыз.

4.18. Қалыптасқан ағыстағы екі нүктеге Бернулли интегралын қолданамыз: А – резервуардың ішінде тыныштықта тұрған сұйықтықтағы және В – ағыншаның бос теңдеуден  теңдігін аламыз. Бірақ , және егер ауырлық күшін ескермесек, онда бұл теңдеу келесі түрде болады:

       немесе       .

 болғандықтан, келесі теңдікті аламыз

.

4.19. (4.43) формула бойынша  болады. Бірақ бұл жағдайда (4.37) теңдеуден бірден  екенін аламыз. Сондықтан

Интеграл астындағы өрнек толық дифференциал болғандықтан осы теңдікті аламыз.

4.20.  және  үшін (4.42) формуланың символдық түрін пайдалансақ, онда:

.

(4.41) формуланы пайдалансақ та осы нәтижені аламыз:

Мұнда интегралдау А нүктесінен басталады және сағат тіліне қарсы бағыт бойынша жүргізіледі.

4.21. Қалыптасқан ағыс үшін үзіліссіздік теңдеуі  түрінде, ал (4.36) Эйлер теңдеуінде массалық күштерді ескермесек, онда  теңдеуін береді.  баротроптық шартынан келесі теңдікті аламыз: , немесе , мұндағы с – дыбыстың жергілікті жылдамдығы. Осы өрнекті Эйлер теңдеуіне қойып және шыққан нәтижені – ға көбейітсек, онда  Үзіліссіздік теңдеуінен  Онда қозғалыс теңдеуі үшін  теңдігін аламыз.  жылдамдық потенциалы арқылы бұл теңдеуді келесі түрде жазуға болады: .

4.22. (4.46) теңдеуіне – ді қою арқылы  болатынына көз жеткіземіз. (4.35) формула бойынша , , . 9.7-есептің нәтижесін пайдалана отырып, тоқ сызығының  жазықтығындағы теңдеуі  түрінде, ал  жазықтығында  түрінде болатының көреміз. Сонымен, ағын  осінің бойымен  жазықтығына қарсы бағытталған.

4.23. (4.48) қатынасынан және  тоқ сызығының дифференциальдық теңдеуінен (9.7 есепті қараңыз)  немесе  екенін аламыз. Сонымен, әрбір тоқ сызығының бойында .

4.24. Берілген  функциясы (4.46) теңдеуін тепе-тең қанағаттандырады. Себебі 2А-2А=0. Жылдамдық компоненталары (4.49) формула арқылы анықталады: ,  Тоқ сызықтары  теңдеуін интегралдау арқылы алынады және өзара перпендикуляр асимтоталары бар гиперболаны  береді. Эквипотенциалды сызықтар , тоқ сызығына ортогональ гиперболалар тобын құрайды. Ең соңында (4.50) формуладан тоқ сызығының өң бойында тұрақты болатын тоқ функциясын  аламыз.

4.25. (4.50) формулаға сәйкес Соңғы теңдікті интегралдасақ, онда  мұндағы – – нің кез келген функциясы. Тоқ функциясын дифференциалдасақ:  Бірақта (4.50) формуладан  болатыны белгілі. Сонымен  және . Ең соңында  теңдігін аламыз.